Le calcul d’intégrale

Notions de base

L’intégration traite de l’aire signée sous une courbe, de l’accumulation d’une grandeur ou de la primitive d’une fonction. Deux cadres principaux :

• Intégrale indéfinie : ensemble des primitives de f, noté ∫ f(x) dx = F(x) + C.
• Intégrale définie : valeur numérique avec bornes, notée ∫_a^b f(x) dx.

Propriétés essentielles

• Linéarité : ∫ (αf + βg) dx = α ∫ f dx + β ∫ g dx.
• Additivité des bornes : ∫_a^c f = ∫_a^b f + ∫_b^c f.
• Changement d’orientation : ∫_a^b f = −∫_b^a f.
• Positivité (si f ≥ 0) : ∫_a^b f ≥ 0.

Théorème fondamental de l’analyse

Pour f continue sur [a, b] et F une primitive de f : ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Primitives usuelles

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1.
• ∫ dx/x = ln|x| + C.
• ∫ e^ax dx = e^ax/a + C, a ≠ 0.
• ∫ cos(ax) dx = sin(ax)/a + C ; ∫ sin(ax) dx = −cos(ax)/a + C.
• ∫ 1/(x² + a²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C, a > 0.
• ∫ 1/√(a² − x²) dx = arcsin(x/a) + C, a > 0.
• ∫ 1/(x − a) dx = ln|x − a| + C.

Méthodes de calcul

Substitution (changement de variable)

Principe : pour u = φ(x) dérivable, ∫ f(φ(x)) φ′(x) dx = ∫ f(u) du.

• Choix d’une substitution simplifiant l’expression.
• Remplacement de dx par du/φ′(x) et des bornes si intégrale définie.

Intégration par parties

Formule : ∫ u dv = uv − ∫ v du, avec u et v suffisamment régulières.

• Sélection de u pour simplifier sa dérivée, et de dv facilement intégrable.

Fractions rationnelles

Décomposition en éléments simples pour P(x)/Q(x) avec deg P < deg Q ; résolution via primitives usuelles et arctangente pour facteurs quadratiques irréductibles.

Intégrales trigonométriques

• Identités : sin²x = (1 − cos 2x)/2 ; cos²x = (1 + cos 2x)/2.
• Substitutions trigonométriques pour √(a² − x²), √(a² + x²), √(x² − a²).

Intégrales impropres

• Bornes infinies : ∫_a^∞ f = lim_R→∞ ∫_a^R f.
• Discontinuités : ∫_a^b f avec singularité en c ; somme des limites ∫_a^c + ∫_c^b.
• Test p-série : ∫₁^∞ 1/x^p converge si p > 1, diverge sinon.
• Comparaison : 0 ≤ f ≤ g et ∫ g converge ⇒ ∫ f converge.

Méthodes numériques (aperçu)

• Rectangle/milieu : approximation grossière mais simple.
• Trapèzes : T_n = (b − a) [f(a) + 2∑ f(x_k) + f(b)]/(2n).
• Simpson : combinaison quadratique, précision accrue pour fonctions régulières.

Exemples résolus

1) Intégrale polynomiale

Objectif : ∫ (3x² − 4x + 5) dx.

Calcul : 3·x³/3 − 4·x²/2 + 5x + C = x³ − 2x² + 5x + C.

2) Substitution

Objectif : ∫ 2x cos(x²) dx.

Choix : u = x², du = 2x dx. Résultat : ∫ cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.

3) Intégration par parties

Objectif : ∫ x e^x dx.

Sélection : u = x ⇒ du = dx ; dv = e^x dx ⇒ v = e^x.
Résultat : x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.

4) Fractions rationnelles

Objectif : ∫ (2x + 3)/(x² + x − 2) dx, avec x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2).

Décomposition : (2x + 3)/[(x − 1)(x + 2)] = A/(x − 1) + B/(x + 2).
Système : 2x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1) ⇒ A = 1, B = 1.
Résultat : ∫ [1/(x − 1) + 1/(x + 2)] dx = ln|x − 1| + ln|x + 2| + C.

5) Trigonométrique

Objectif : ∫ sin²x dx sur ℝ.

Identité : sin²x = (1 − cos 2x)/2.
Résultat : ∫ (1/2) dx − ∫ (cos 2x)/2 dx = x/2 − sin 2x/4 + C.

6) Intégrale impropre

Objectif : ∫₁^∞ 1/x^p dx.

• p ≠ 1 : ∫ x^−p dx = x^1−p/(1−p).
• Valeur : lim_R→∞ [R^1−p − 1]/(1−p).
• Convergence si p > 1 (limite nulle du terme R^1−p), divergence sinon.

Applications courantes

• Aires et longueurs d’arcs, volumes par disques/anneaux/coquilles.
• Travail, énergie, charge accumulée, débit total.
• Probabilités continues : fonctions de densité, espérance, variance.
• Résolution d’équations différentielles via primitives et facteurs intégrants.

Stratégie générale

• Analyse de la structure de f : polynomiale, rationnelle, exponentielle, trigonométrique, composition.
• Choix d’une méthode adaptée : primitives usuelles, substitution, parties, décomposition.
• Vérification par dérivation de la primitive obtenue.
• Contrôle de convergence pour intégrales impropres avant calcul.